Toán 11 kết nối tri thức
Ngày soạn: .../.../...

Ngày dạy: .../.../...

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC (3 TIẾT)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác.

-

Nhận biết được khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.

-

Mô tả được bằng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp;
hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác, quan hệ
giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù
nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau π .

-

Sử dụng được MTCT để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi
biết số đo của góc đó.

-

Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc
lượng giác.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Rèn luyện được năng lực mô hình hóa toán học thông qua các bài toán thực
tiễn về bài toán di chuyển của trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tình huống mở đầu),
quãng đường đi của xe đạp, vận tốc (dài) và vận tốc của xe đạp (Bài tập
1.6)...; rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán
về xác định góc lượng giác, số đo của góc lượng giác,...; rèn luyện năng lực
sử dụng các công cụ, phương tiện học toán thông qua việc sử dụng MTCT
để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác.

Năng lực riêng: tư duy và lập luận toán học; giao tiếp toán học; mô hình hóa toán
học; giải quyết vấn đề toán học.

-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ
giữa các đối tượng đã cho và nội dung bài học, từ đó có thể áp dụng kiến
thức đã học để giải quyết các bài toán.

-

Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán
thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.

-

Giao tiếp toán học: Trình bày, phát biểu được các khái niệm, các giá trị,…
của góc lượng giác.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng máy tính cầm tay để tính
giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó.

3. Phẩm chất
-

Tích cực thực hiện nhiệm vụ khám phá, thực hành, vận dụng.

-

Có tinh thần trách nhiệm trong việc thực hiện nhiệm vụ được giao.

-

Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình và
nhóm bạn.

-

Tự tin trong việc tính toán; giải quyết bài tập chính xác.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1 - GV: SGK, SGV, Tài liệu giảng dạy, giáo án PPT, PBT(ghi đề bài cho các hoạt
động trên lớp), các hình ảnh liên quan đến nội dung bài học,...
2 - HS:
- SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút
viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu: Giúp HS có hứng thú với nội dung bài học thông qua một tình huống
liên quan đến góc lượng giác và giá trị lượng giác.
b) Nội dung: HS đọc bài toán mở đầu và thực hiện bài toán dưới sự dẫn dắt của
GV (HS chưa cần giải bài toán ngay).
c) Sản phẩm: HS nắm được các thông tin trong bài toán và dự đoán câu trả lời cho
câu hỏi mở đầu theo ý kiến cá nhân.
d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV chiếu Slide dẫn dắt, đặt vấn đề qua bài toán mở đầu và yêu cầu HS thảo luận
và nêu dự đoán (chưa cần HS giải):
+ “Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm
trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (hình dưới). Nếu trạm mặt
đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi đó nằm trong góc 45 oở tâm của quỹ đạo tròn
này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu
Kilomet trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của
Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị”.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm và
thực hiện yêu cầu theo dẫn dắt của GV.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi đại diện một số thành viên nhóm HS trả lời,
HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV ghi nhận câu trả lời của HS, trên cơ sở đó dẫn
dắt HS vào tìm hiểu bài học mới: “Bài học ngày hôm nay giúp chúng ta biết được
tế nào là một góc lượng giác và giá trị lượng giác của góc lượng giác, từ đó ta có
thể áp dụng để giải được bài toán trong phần mở đầu trên”.
⇒Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác.

B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
TIẾT 1: GÓC LƯỢNG GIÁC, ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
Hoạt động 1: Góc lượng giác.

a) Mục tiêu:
- Nắm được khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác.
- Trình bày được hệ thức Chasles; tính toán được một số bài tập cơ bản.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về giá trị lượng giác của góc lượng giác theo yêu
cầu, dẫn dắt của GV, thảo luận trả lời câu hỏi trong SGK.
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về giá trị lượng giác của góc
lượng giác để thực hành làm các bài tập ví dụ, luyện tập, vận dụng
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Góc lượng giác
a) Khái niệm góc lượng giác và số đo
của góc lượng giác.

- GV cho HS trao đổi theo bàn và thực

HĐ1:

hiện HĐ1 để nhận biết khái niệm góc
lượng giác.
+ GV chỉ định một số HS đứng tại chỗ
trả lời câu hỏi của HĐ1.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.

a) Phải quay kim phút một khoảng bằng
2 1
= vòng tròn.
12 6

- GV đặt câu hỏi dẫn dắt ra Kết luận b) Phải quay kim phút một khoảng bằng
trong khung kiến thức trọng tâm: “Với 10 = 5
vòng tròn.
12 6
phần a và b của HĐ1, khi kim đồng hồ

quay 1 góc xác định thì ta nói góc đó là c) Có 2 cách quay kim phút theo một
một góc lượng giác. Vậy trong trường chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ
hợp tổng quát thì thế nào là góc lượng đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là
giác?”
- GV viết lên bảng và minh họa phần

quay ngược chiều kim đồng hồ và quay
theo chiều quay của kim đồng hồ.

Kết luận trong khung kiến thức trọng Kết luận:
tâm cho HS quan sát và hiểu rõ.

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét

- GV cho HS quan sát hình 1.3 và đọc – tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này.
hiểu phần này.
+ GV hướng dẫn, mô tả từng hình cho
HS hiểu được Quy ước về chiều quay
của góc lượng giác và số đo của góc
lượng giác.

Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một
chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói
nó quét một góc lượng giác với tia đầu
Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).
Quy ước:
- Chiều quy ngược với chiều quay của
kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay
cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

- Số đo của góc lượng giác:
Nếu tia Om quay theo chiều dương đúng
một vòng ta nói tia Om quay góc 360o ,

quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720o
+ GV: Để xác định được số đo của một
góc lượng giác ta cần xác định định
được chiều quay của tia là chiều dương
hay âm.

; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó
quay góc −180o , quay theo chiều âm 1,5
vòng ta nói nó quay góc −1,5.360o =−540o,
…..

Nếu tia quay được đúng 1 vòng theo
chiều dương thì ta nói tia đó quay góc
o
360 , hai vòng thì ta nói nó quay góc

720o và ngược lại.

- Khi tia Om quay góc α o thì ta nói góc
lượng giác mà tia đó quét nên có số đo α o,
Số đo lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối
Ov được kí hiệu là sđ (Ou , Ov).
Kết luận:
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định
bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc
của nó.
Chú ý
- GV đặt câu hỏi cho HS suy luận: “Với Cho hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng
những điểm ta vừa học trên, thì mỗi góc giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc
lượng giác được xác định bởi những lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou,
Ov).
yếu tố nào?”
Số đo của các góc lượng giác này sai

+ GV mời một số HS phát biểu ý kiến.

khác nhau một bội nguyên của 360o .

+ GV viết phần kết luận lên bảng cho Ví dụ 1: (SGK – tr.7).
HS quan sát.
+ HS ghi bài vào vở.

- GV nêu phần Chú ý cho HS về sự sai
khác nhau về số đo của các góc lượng
giác.

Lời giải: (SGK – tr.7).
Luyện tập 1.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 1
+ GV cho HS nhắc lại về chiều dương,
chiều âm của một góc lượng giác.

Ta có:

+ GV nhấn mạnh lại phần chú ý cho HS - Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov,
quay theo chiều dương có số đo là
về sai số.
+ GV trình bày mẫu lời giải Ví dụ 1 cho sđ (Ou , Ov)=45 ° .
HS hiểu được cách thực hiện một bài - Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối
toán xác định số đo của góc lượng giác. Ov, quay theo chiều âm có số đo là
- GV tiếp tục hướng dẫn cho HS làm sđ ( Ou , Ov )=−( 360 ° – 45 ° )
phần Luyện tập 1.

¿−315 °.

b) Hệ thức Chasles
+ Áp dụng quy ước về số đo một góc
lượng giác và chiều của một góc lượng
giác để làm bài tập này.

HĐ2:

+ Đầu tiên xác định chiều, sau đó xác
định số đo góc.
+ GV mời 2 HS lên bảng làm bài.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV cho HS tự thảo luận và thực hiện
HĐ2 để rút ra được kết luận về hệ thức
Chasles.

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:
sđ (Ou , Ov)=30 ° ;
sđ (Ov ,Ow )=45° ;
sđ ( Ou, Ow )=– ( 360° – 30 ° – 45° )
¿ – 285 ° .

b)  Ta có:
sđ (Ou , Ov)+ sđ (Ov , Ow)=30° + 45 °=75 °.

Lại có: – 285 ° +1.360 °=75 ° .
Vậy tồn tại một số nguyên k =1 để
sđ (Ou , Ov)+ sđ (Ov , Ow)=sđ (Ou ,Ow )+ k 360°

.
Hệ thức Chasles:
Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:
Sđ (Ou ,Ov)+ sđ (Ov , Ow)=sđ (Ou, Ow)+ k 360 º ( k ∈ Z ) .

Nhận xét:
Từ hệ thức Chasles, ta suy ra: Với ba tia
- GV nêu phần Hệ thức Chasles cho
HS

tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:
Sđ ( Ou , Ov ) =sđ (Ox ,Ov ) – sđ (Ox ,Ou )
o

+ k 360 (k ∈ Z).

Hệ t thực này đống vai trò quan trọng
trong việc tính toán số đo của góc lượng
- GV đưa ra câu hỏi cho HS suy nghĩ:
+ Nếu có 3 tia bất kì Ox, Ou, Ov và
dựa vào hệ thức Chasles thì ta có thể

giác.
Ví dụ 2.
Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

tính toán được số đo của (Ou, Ov) hay
không?
+ HS suy nghĩ.
+ GV chỉ định 1 HS trả lời câu hỏi.
+ GV chốt đáp án và nhấn mạnh phần
Nhận xét (SGK – tr.7).

Luyện tập 2
Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou,
tia cuối Ov là:
sđ ( Ou , Ov )=sđ (Ox , Ov) – sđ (Ox ,Ou)+ k 360 °

- GV hướng dẫn, giảng giải các bước ¿ – 270 ° – 240 ° +k 360 °
làm Ví dụ 2 cho HS hiểu được cách vận
dụng hệ thức Chasles.

¿ – 510 ° +k 360 °

+ GV (có thể) mời 1 HS đứng tại chỗ ¿ 210 ° – 720° + k 360 °
cùng mình thực hiện các bước làm Ví
dụ 2 cho các HS còn lại quan sát.
+ Các HS còn lại trình bày vào vở.
- GV cho HS thực hiện thảo luận Luyện
tập 2 theo tổ trong lớp.
+ Mỗi tổ thảo luận và cử 1 đại diện lên
bảng viết câu trả lời.
+ GV nhận xét, rút kinh nghiệm cho
HS.
+ GV chốt đáp án cho HS trình bày vào
vở.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành
vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao
đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp
án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của
GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.

¿ 210 °+( k – 2)360 °
¿ 210 ° +m360 ° (m=k – 2 , mZ ) .

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số
đo là 210 ° +m360 ° (m ∈ Z).

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn
dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát, nhận xét quá trình hoạt động
của các HS, cho HS nhắc lại khái niệm
góc lượng giác và số đo của góc lượng
giác.

Hoạt động 2: Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn.
a) Mục tiêu:
- Nhận biết được các đơn vị đo góc và mối quan hệ giữa chúng.
- Nhận biết công thức tính độ dài cung tròn và áp dụng được công thức để giải
quyết các bài toán liên quan.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về đơn vị đo góc và độ dài cung tròn theo yêu
cầu, dẫn dắt của GV, thảo luận trả lời câu hỏi và hoàn thành các bài tập ví dụ,
luyện tập trong SGK.
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về đơn vị đo góc và độ dài cung
tròn để thực hành hoàn thành bài tập Ví dụ 3, 4, Luyện tập 3 và Vận dụng 1.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn
a) Đơn vị đo góc và cung tròn

- GV yêu cầu HS nhắc về đơn vị dùng để - Đơn vị dùng để đo góc là: Độ.
đo góc, và quy đổi từ độ sang phút.

o

1

- Góc 1 = 180 góc bẹt.
- Đơn vị độ được chia thành những đơn
- GV giới thiệu về Đơn vị rađian và biểu vị nhỏ hơn: 1o=60' ; 1' =60 ' '
diễn hình học cho HS nắm được kiến
Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O)
thức mới.
tâm O, bán kính R và một cung AB trên
(O)

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1
rađian nếu độ dài của nó đúng bằng
bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng
góc AOB có số đo bằng 1 rađian và
viết:
^
AOB=1rad .

Quan hệ giữa độ và rađian:
- GV dẫn dắt cho HS để hình thành kiến
thức về Quan hệ giữa độ và rađian:

+ Công thức tính độ dài đường tròn 2 πR

+ GV: Hãy nêu công thức tính độ dài .
đường tròn.
+ GV: Ta có mối liên hệ giữa độ và
rađian, do đường tròn có số đo là 2 πR

+ Độ dài đường tròn là 2 πR nên nó có

nên nó có số đo là 2 π rad .

số đo là 2 π rad .

+ GV: Ta có số đo của đường tròn là 360o + 360o =2 π rad .
nên 360o =¿ 2 π rad .
+ Từ đó GV hình thành công thức và viết
lên bảng cho HS quan sát và nắm được.

Công thức:
1o =

- GV nêu phần Chú ý cho HS cách viết
số đo góc theo rađian.

( )

π
180
rad và 1 rad=
180
π

o

Chú ý:
Khi viết một số đo của một góc theo
đơn vị rađian, người ta thường không
viết chữ rad sau số đo.
π

π

o
+ Áp dụng công thức 1 = 180 rad và Ví dụ 3: (SGK – tr.9).

1 rad=

π

Chẳng hạn góc 2 được hiểu là 2 rad .

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 3

( )

180 o
.
π

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

+ GV mời 2 HS lên bảng thực hiện Ví dụ
3.
- GV cho HS tự đọc và làm phần Luyện
tập 3, sau đó:
+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện.

Luyện tập 3

+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số HS.

a) Đổi từ độ sang rađian:

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

360 =360.

o

o

π
=2 π
180

−450 =−450.

π −5 π
=
180
2

b) Đổi từ rađian sang độ:
3 π=3 π .

( )

o

180
o
=540
π

( )

o

−11 π −11 π 180
=
.
=−396
5
5
π
- GV giới thiệu bảng chuyển đổi thông

dụng từ độ sang rađian trong phần Chú ý
cho HS.

- GV cho HS thực hiện HĐ3 để xây dựng
được công thức tính độ dài của cung tròn.
+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ thực hiện
HĐ3, GV viết lên bảng.
+ GV nêu nhận xét và đi vào phần công
thức tính độ dài cung tròn.
+ GV viết công thức lên bảng.

Chú ý:
Độ

0

rad

0

Độ

90

rad

π
2

Độ

180o

rad

π

o

30

o

π
6
o

120

45

o

π
4
o

2π
3

135

o

60
π
3

o

3π
4

150

o

5π
6

b) Độ dài cung tròn.
HĐ3:
a) Độ dài cung tròn có số đo bằng 1
rađian là R .
b) Độ dài của một cung tròn có số đo α
rad là αR .
Công thức:

- GV dẫn vào Ví dụ 4: “Chúng ta đã
thực hiện tìm được công thức tính độ dài

Một cung của đường tròn bán kính R và
có số đo α rad thì có độ dài l=Rα .

cung tròn, các em hãy áp dụng làm Ví dụ Ví dụ 4: (SGK – tr.9).

4”.

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.9).

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày đáp
án.
+ GV nhận xét và chốt kiến thức.
- GV cho HS thảo luận nhóm, tương ứng
với mỗi nhóm là một tổ trong lớp phần
Vận dụng 1.
+ Mỗi nhóm thực hiện thảo luận và cử
một đại diện lên trình bày câu trả lời.

Vận dụng 1
Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc
tế là R=6400+400=6800(km)
π

π

o
Đổi 45 =45. 180 = 4

+ Những nhóm còn lại quan sát và nêu Vậy trạm ISS đã di chuyển một quãng
nhận xét, phần biện lại.
đường có độ dài là:
+ Nhóm nào nhanh và chính xác nhất
được cộng thêm điểm theo đánh giá của
GV.
+ GV nhận xét, rút ra kinh nghiệm làm
bài cho HS.
+ GV chốt đáp án, HS làm bài vào vở.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành
vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao
đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp
án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của
GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

l=R . α =6800.
≈ 5 341 km.

π
≈ 5340,708
4

- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn
dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát, nhận xét quá trình hoạt động của
các HS, cho HS nhắc lại đơn vị và độ dài
cung tròn.

TIẾT 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
Hoạt động 3: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
a) Mục tiêu:
- Nhận biết thế nào là đường tròn lượng giác và các điểm trên đường tròn lượng
giác.
- Nắm được các giá trị lượng giác của góc lượng giác và các góc lượng giác đặc
biệt.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về giá trị lượng giác của góc lượng giác thức theo
yêu cầu, dẫn dắt của GV, thảo luận trả lời câu hỏi và hoàn thành các bài tập ví dụ,
luyện tập, vận dụng trong SGK.
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về giá trị lượng giác của góc
lượng giác để thực hành hoàn thành bài tập Ví dụ 5, 6, 7, Luyện tập 4, 5.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- GV cho HS làm HĐ4 để HS nhận a) Đường tròn lượng giác
biết được khái niệm về đường tròn

lượng giác.

HĐ4:

+ GV vẽ hình hoặc trình chiếu hình về a) Ta có: sđ (OA , OM )=¿ 5 π = π + π
4
4
đường tròn lượng giác cho HS quan
sát.

Điểm M trên đường tròn sao cho

5π
−7 π
+ GV yêu cầu HS tách 4 và 4 .

sđ (OA , OM )= 

5π
được xác định như trên
4

hình vẽ dưới đây:

+ Sau đó GV biểu diễn hình cho HS
quan sát.

b) Ta có: sđ(OA, ON) =

−7 π
4

( 34π + π )

¿−

Điểm N trên đường tròn sao cho
sđ (OA , ON )=

−7 π
được xác định như trên
4

hình vẽ dưới đây:

- GV đi vào phần Kết luận trong

Kết luận

khung kiến thức trọng tâm cho HS - Đường tròn lượng giác là đường có tâm
nắm được thế nào là đường tròn lượng tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định
giác.

hướng và lấy điểm A(1 ; 0) làm điểm gốc
của đường tròn.
- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu
diễn góc lượng giác có số đo α (độ hoặc
rađian) là điểm M trên đường tròn lượng
giác sao cho sđ (OA , OM )=α .
Ví dụ 5: (SGK – tr.10).
Hướng dẫn giải: (SKG – tr.10).

- GV cho HS tự thực hiện Ví dụ 5, HS
làm bài và đối chiếu đáp án với bạn
cùng bàn.
+ GV mời 1 HS lên bảng vẽ hình và
tính toán.
+ HS có thể tính theo rad hoặc độ để

biểu diễn được điểm cần tìm.
- GV cho HS làm phần Luyện tập 4. Luyện tập 4
Sau đó:
+ Gọi ngẫu nhiên một số HS nêu cách
thực hiện và đưa ra đáp án.
+ GV nhận xét, chốt đáp án và củng cố

Ta có:

(

)

−15 π
3π
=−
+3 π , điểm M trên
4
4

đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng
giác có số đo bằng

−15 π
được xác định
4

lại kiến thức về đường tròn lượng giác. trong hình dưới đây:

Ta có: 420 o=60 o+ 360o, điểm N trên đường
tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác
có số đo bằng 420 ° được xác định trong
hình dưới đây:

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng
giác

HĐ5:

- GV mời HS nhắc lại khái niệm các
giá trị lượng giác sin α ,cos α , tan α ,
cot α của góc α (0 ° ≤α ≤180 °) đã học ở Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x 0;

lớp 10 để thực hiện HĐ5.

y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao
xOM =α . Khi đó:
cho  ^

+ sin của góc α là tung độ y 0 của điểm M ,
kí hiệu là sin α ; sin α= y 0 .
+ côsin của góc α là hoành độ của x 0 của
điểm M, kí hiệu là cos α ;cos α=x 0 .
+ Khi α ≠ 90 o (hay là x 0 ≠ 0 ), tang của α là
y0
, kí hiệu là tan α ;
x0
tan α=

sin α y 0
=
cos α x 0

+ Khi α ≠ 0 o và α ≠ 180o (hay y 0 ≠ 0), côtang
của α là
cot α =

x0
, kí hiệu là cot α ;
y0

cos α x 0
= .
sin α y 0

Kết luận

- GV dẫn và phần khung kiến thức
trọng tâm: Ta có thể mở rộng khái
niệm giá trị lượng giác cho các góc
lượng giác có số đo tùy ý như sau:
Giả sử M (x ; y ) là điểm trên đường + Hoành độ x của điểm M được gọi là
tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng côsin của α , kí hiệu cos α .
giác có số đo α như hình 1.9b.

cos α=x

+ Tung độ y của điểm M được gọi là sin
của α , kí hiệu là sin α .
sin α = y
sin α

+ Nếu cos α ≠ 0, tỉ số cos α được gọi là tang
của α , kí hiệu là tan α .
tan α=

sin α y
= (x≠0)
cos α x
cos α

+ Nếu sin α ≠ 0 , tỉ số sin α được gọi là
côtang của α , kí hiệu là cot α .
cot α =

cos α x
= ( y ≠ 0)
sin α y

+ Các giá trị cos α , sin α , tan α , cot α được
gọi là các giá trị lượng giác của α .
Chú ý

a) Ta gọi trục tung là trục sin ; trục hoành là
trục cos .
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
+ sin α ,cos α các định với mọi giá trị của α
và ta có:
−1 ≤sin α ≤1 ;−1≤ cos α ≤ 1
sin ( α +k 2 π ) =sin α ;

- GV dẫn dắt: Từ định nghĩa lượng
giác của các góc lượng giác, và

cos (α + k 2 π )=cos α ,(k ∈ Z ).

đường tròn lượng giác. Các em hãy + tan α xác định khi α ≠ π +kπ ( k ∈ Z ) .
2
cho biết các giá trị lượng giác được
xác định khi nào?

+ cot α xác định khi α ≠ kπ (k ∈ Z ).

+ GV mời một số HS đứng tại chỗ để + Dấu của các giá trị lượng giác của một
phát biểu ý kiến.
+ GV viết đáp án lên bảng và nhấn
mạnh phần chú ý cho HS ghi bài vào
vở.

góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm
biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 6: (SGK – tr.12).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).
Luyện tập 5
a)  Điểm M trên đường tròn lượng giác
- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 6 biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng  5 π  
6
để nắm được cách tính giá trị của một
được xác định trong hình sau:
góc lượng giác.

- GV cho HS làm phần luyện tập 5
+ HS suy nghĩ và làm bài vào vở.
+ GV chỉ định 2 HS lên bảng làm bài
và trình bày cách làm trước lớp.
+ GV nhận xét, và chốt đáp án.
b) Ta có:
cos

5 π − √3
5π 1
=
; sin
=
6
2
6 2

5π
5π
6 −√ 3
tan
=
=
6
5π
3
cos
6
sin

5π
5π
6
cot
=
=√ 3
6
5π
sin
6
cos

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số
đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 7: (SGK – tr.13).
- GV trình chiếu, hoặc cho HS tự quan
sát vào bảng giá trị của các góc đặc
biệt trong SGK – tr.12.
+ GV lưu ý cho HS: HS cần ghi nhớ

Ví dụ 8: (SGK – tr.13).

bảng lượng giác của các góc đặc biệt
này để khi làm bài sẽ vận dụng một
cách nhanh chóng.
Luyện tập 6
3π

a) Tính: cos 7 ; tan(−37 o 25' )
- GV hướng dẫn HS sử dụng MTCT
thông qua Ví dụ 7, Ví dụ 8.

Dùng máy tính cầm tay fx570VN PLUS.
3π

+ Để tính cos 7 ta thực hiện bấm phím lần
lượt như sau:

Màn hình hiện 0,222520934 .
3π

Vậy cos 7 ≈ 0,222520934 .
+ Để tính tan (−37 o 25' ) ta thực hiện bấm
phím lần lượt như sau:

- GV cho HS tự thực hiện phần luyện

– 0,76501876.
tập 6 để thành thạo kỹ năng sử dụng Màn hình hiện

MTCT.

Vậy tan (−37 o 25' )=– 0,76501876.

+ GV chỉ định 3 HS đứng tại chỗ trình b) Đổi 179 ° 23 ' 30 sang rađian ta thực hiện
bày cách thực hiện.

bấm phím lần lượt như sau:

+ Các HS còn lại chú ý lắng nghe và
nhận xét.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.

Màn hình hiện 3,130975234
Vậy 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).
7

c) Đổi 9 rad sang độ ta thực hiện bấm
phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 44 °33 ' 48,18
7

Vậy 9 rad =44 ° 33 ' 48,18

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn
thành vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên
trao đổi, đóng góp ý kiến và thống
nhất đáp án.
Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của
GV, chú ý bài làm các bạn và nhận
xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá,
dẫn dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát, nhận xét quá trình hoạt
động của các HS, cho HS nhắc lại giá
trị lượng giác của một góc lượng giác.

TIẾT 3: QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Hoạt động 4: Quan hệ giữa các giá trị lượng giác.
a) Mục tiêu:
- Nhận biết và vận dụng được các công thức lượng giác cơ bản trong một số bài
toán đơn giản.
- Nhận biết giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.
b) Nội dung:
- HS tìm hiểu nội dung kiến thức về quan hệ giữa các giá trị lượng giác theo yêu
cầu, dẫn dắt của GV, thảo luận trả lời câu hỏi và hoàn thành các bài tập ví dụ,
luyện tập trong SGK.
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức về quan hệ giữa các giá trị lượng
giác để thực hành hoàn thành bài tập Ví dụ 8, 9, Luyện tập 6, 7 và Vận dụng 2.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

- GV cho HS quan sát và thực hiện HĐ6.

a) Các công thức lượng giác cơ bản

+ GV dẫn dắt HS: Các em hãy quan sát HĐ6:

đường tròn lượng giác tâm O với điểm
A(1 ; 0) là tâm. Có điểm M ( x , y ) nằm trên

đường tròn. Áp dụng định nghĩa để xử lí
bài toán.
+ GV yêu cầu HS suy nghĩ và nêu đáp án.
+ GV chỉ định một số HS nêu đáp án.

a) Theo định nghĩa, ta có:

+ GV nhận xét và chốt đáp án cuối cùng.

sin α = y ;cos α =x

Do đó,
( sin α )2+ ( cos α )2= y 2 + x 2

Từ hình vẽ ta thấy x 2+ y 2=R2=1 (theo
định lý Pythagore và đường tròn đơn vị
có bán kính R=1).
Vậy sin α +cos α=1.
b) Theo định nghĩa với:
α≠

π
+kπ (k ∈ Z ), ta có:
2

tan α=

(

sin α
sin α
=> α =
cos α
cos α
α

Do đó, 1+α =1+ α
¿

α+α 1
=
α
α
1

Vậy 1+α = α .
Hệ thức cơ bản:
2

2

sin α +cos α =1

)

2

- GV nêu ra phần hệ thức cơ bản (SGK – 1+ tan 2 α = 1 ( a ≠ π + kπ , k ∈ Z)
2
cos 2 α
tr.14).
2

1+cot α =

1
(α ≠ kπ , k ∈ Z )
2
sin α

tan α . cot α =1(α ≠

kπ
,k ∈ Z )
2

Ví dụ 9: (SGK – tr.14).
- GV hướng dẫn HS làm phần Ví dụ 9

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.14).

+ GV: Đối với bài này các em nên sử
dụng đường tròn lượng giác để biết được
dấu của các giá trị lượng giác. Sau đó sử
dụng các hệ thức lượng giác để tính toán
bài làm.
+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ thực
hiện Ví dụ, các HS khác quan sát, lắng
nghe và cho nhận xét.
+ GV nhận xét và trình bày mẫu cho HS.
- GV yêu cầu HS tự suy nghĩ và làm phần Luyện tập 7
Luyện tập 7.
3π
Vì π <α < 2 nên sin α <0. Mặt khác:
+ GV mời 1 HS lên bảng làm bài. Các HS
khác làm bài vào vở.

sin α + cos α =1 ta có:

+ GV kiểm tra ngẫu nhiên một số HS.

sin α=− √ 1−cos α

+ GV gọi 1 HS nhận xét bài làm của HS
trên bảng.
+ GV nêu nhận xét và chốt đáp án.

2

2

2

√

( )

¿− 1−

−2 2 − √ 5
=
.
3
3

− √5
sin α
3
√ 5 và
=
=
Do đó, tan α=
cos α −2
2
3
cot α =

1
1
2 2 5
=
= = √
tan α √ 5 √ 5
5 .
2

b) Giá trị lượng giác của các góc có
- GV hướng dẫn cho HS trao đổi phần liên quan đặc biệt.
HĐ7 theo tổ trong lớp để đưa ra nhận xét
về liên hệ giữa giá trị lượng giác của các

HĐ7:

góc đối nhau.
+ GV: Quan sát hình 1.12a ta thấy hoành
độ điểm M và N bằng nhau, còn tung độ
hai điểm M và N thì đối nhau. Từ đó ta
sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của
một góc để suy ra các mối liên hệ cần
tìm.
M x ; y ; N (x N ; y N ).
+ HS trao đổi, lập luận theo nhóm. Mỗi a) Giả sử ( M M )

nhóm cử đại diện trình bày cách làm và Từ Hình 1.12a, ta thấy hai điểm M và N
kết quả.
đối xứng với nhau qua trục hoành Ox ,
+ Các nhóm khác quan sát, lắng nghe và do đó ta có: x M =x N và y M =– y N .
đưa ra nhận xét, phần biện.

Theo định nghĩa giá trị lượng giác của

+ GV ghi nhận các ý kiến và ghi lời giải một góc, ta lại có:
lên bảng cho HS hoàn thiện vào vở.

cos α=x M và cos (−α )=x N .

Suy ra cos (−α )=cos α .
cos α= y M và sin(−α )= y N .

Suy ra sin α =−sin (−α) hay

sin(−α )=−sin α .

b) Ta có:
tan(−α )=

sin (−α ) −sin α
=
=α ;
cos (−α ) cos α

cot(−α )=

cos (−α ) cos α
=
=−cot α
sin (−α ) −sin α

Vậy tan (−α ) =−tan α ;
cot (−α )=−cot α

- GV nêu và ghi phần khung kiến thức Góc đối nhau ¿và −α ¿
trọng tâm lên bảng cho HS (SGK – tr.14, cos (−α )=cos α
15).

sin(−α )=−sin α
tan(−α )=−tan α
cot (−α )=−cot α

Góc bù nhau (α và π−α )
sin(π −α )=sin α
cos ( π −α )=−cos α
tan(π−α )=−tan α
cot (π −α )=−cot α
π

Góc phụ nhau (α và 2 −α )
sin

( π2 −α )=cos α

cos

( π2 −α )=sin α

tan

( π2 −α )=cot α

cot

( π2 −α )=tan α

Góc hơn kém π (α và π +α )
sin(π + α )=−sin α
cos (π +α )=−cos α
tan(π +α )=tan α

- GV nêu phần Chú ý cho HS.

cot (π + α )=cot α

Chú ý (SGK – tr.15)
Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa
việc tính giá trị lượng giác của một góc
lượng giác bất kì về việc tính giá trị
π

lượng giác của góc α với 0 ≤ α ≤ 2 .
- GV cho HS quan sát Ví dụ 10 hướng

Ví dụ 10: (SGK – tr.15).

dẫn và trình bày mẫu lên bảng cho HS Hướng dẫn giải: (SGK – tr.15).
hiểu được cách vận dụng các công thức
tính toán.
- GV cho HS thảo luận và làm Luyện tập
8 theo từng bàn.
+ HS làm bài và đối chiếu đáp án với bạn

Luyện tập 8
a) sin(−675o )=sin(45o −2.360o )

cùng bàn.

o

¿ sin 45 =

+ GV mời 2 HS lên bảng làm bài.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.
- GV cho HS thảo luận nhóm phần Vận

b) tan

( 154π )=tan (−π4 +4 π )

√2.
2

π
¿−tan =−1.
4

dụng 2.
+ Nhóm nào sau khi thảo luận, tìm ra đáp
án nhanh nhất trong thời gian GV quy

Vận dụng 2.

định sẽ được cộng điểm.

a) Thời điểm 6 giờ sáng, tức t = 6, khi

+ Mỗi nhóm cử 1 đại diện trình bày.

đó B(6) = 80+7 sin 12 =87.

+ GV nhận xét, rút ra kết luận cho HS.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó

6π

vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.
b) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức
t=10,5, khi đó:

10,5 π

B(10,5) = 80+7 sin 12 ≈ 82,68
Vậy huyết áp tâm trương của người đó
vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ 82,68
mmHg.
c) Thời điểm 12 giờ trưa, tức t=12, khi
12 π

đó B(12)= 80+7 sin 12 =80
Vậy huyết áp tâm trương của người đó
vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.
d) Thời điểm 8 giờ tối hay 20 giờ, tức
t=20, khi đó:

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành
vở.
- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao
đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp
án.

B(20)=¿  80+7 sin

20 π 160−7 √ 3
=
12
2

Vậy huyết áp tâm trương của người đó
vào lúc 8 giờ tối là 

160−7 √ 3
.
2

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của
GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày
bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn
dắt, chốt lại kiến thức.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát, nhận xét quá trình hoạt động của
các HS, cho HS nhắc lại quan hệ giữa các
giá trị lượng giác.
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức về giá trị lượng giác của góc lượng
giác thông qua một số bài tập.
b) Nội dung: HS vận dụng tính chất góc lượng giác, hệ thức Chasles, các giá trị
lượng giác của góc lượng giác, công thức lượng giác cơ bản, thảo luận nhóm hoàn
thành bài tập vào phiếu bài tập nhóm/ bảng nhóm.
c) Sản phẩm học tập: HS giải quyết được tất cả các bài tập liên quan
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổng hợp các kiến thức cần ghi nhớ cho HS về giá trị lượng giác của góc
lượng giác.
- GV tổ chức cho HS hoàn thành bài cá nhân BT1.1; BT1.2; BT1.3; BT1.4 (SGK
– tr16).
- GV chiếu Slide cho HS củng cố kiến thức thông qua trò chơi trắc nghiệm.
Câu 1. Giá trị nào sau đây mang dấu dương?
A. sin 290 °;
B. cos 290 ° ;

C. tan 290 ° ;
D. cot 290 ° .
Câu 2. Giá trị của sin
−1

( 136 π ) bằng
1

A. 2 ;

B. 2 ;

C.

−√ 3
;
2

3
D. √
2

Câu 3. Góc lượng giác nào mà hai giá trị sin và cosin của nó trái dấu?
A. 100 °;
B. 80 ° ;
C. −95 ° ;
D. −300 °.
Câu 4. Cot của góc lượng giác nào bằng
π

A. −300o ;

B. 6 ;

1
?
√3

C. 45 o;

−π

D. 6

a . sin α +b .cos α

Câu 5. Cho tan α=m. Khi đó: c . sin α +d .cos α bằng:
a+b

a+bm
...